0-9 arasındaki sayılar birer rakamla ifade edilebilir, daha büyük sayılar için ise bu rakamları belirli kurallar dahilinde bir araya getiren bir basamak sistemine ihtiyaç duyulur. Bir basamak sisteminde her rakam bulunduğu basamakla birlikte bir büyüklük ifade eder. Örneğin, 143 ve 341 sayıları aynı rakamlardan oluşsa da, her rakamın konumu farklı olduğu için iki sayı farklı büyüklükler ifade eder.
Pek çok basamak sistemi olmakla birlikte, matematikte ve günlük hayatta en yaygın şekilde kullanılan sistem 0-9 arası rakamları kullanan onlu basamak sistemidir.
Basamak sisteminin iyi anlaşılması; temel dört işlem ve sayıları karşılaştırma, sıralama ve yuvarlama gibi işlemler açısından oldukça önemlidir.
Tam sayılarda onlu basamak sisteminin işleyişi aşağıdaki gibidir.
- Her sayı isimleri ve birim değerleri farklı basamaklardan oluşur.
- Her basamak 0-9 arası rakamlardan birini içerir.
- En sağdaki basamağın birim değeri 100=1, sağdan ikinci basamağın birim değeri 101=10’dur.
- Basamakların birim değerleri sola doğru 10’un artan kuvvetleri şeklinde artar.
- Her basamağın basamak değeri, o basamaktaki rakam ile basamağın birim değerinin çarpımına eşittir.
- Bir sayının değeri, tüm basamakların basamak değerlerinin toplamına eşittir.
456.789 sayısının basamaklarının basamak değerlerinin hesaplaması aşağıdaki tabloda verilmiştir.
| Basamak Adı | Rakam Değeri | Hesaplama | Basamak Değeri |
|---|---|---|---|
| Yüz binler basamağı | 4 | 4×100.000 | 400.000 |
| On binler basamağı | 5 | 5×10.000 | 50.000 |
| Binler basamağı | 6 | 6×1.000 | 6.000 |
| Yüzler basamağı | 7 | 7×100 | 700 |
| Onlar basamağı | 8 | 8×10 | 80 |
| Birler basamağı | 9 | 9×1 |
Bu basamak değerleri toplandığında aşağıdaki gibi sayının gerçek sayısal değerine ulaşılır.
\[400.000 + 50.000 + 6.000 + 700 + 80 + 9 = 456.789\]Bir Sayının Çözümlenmesi
Bir sayının basamaklarının basamak değerlerinin toplamı şeklinde yazılışına o sayının çözümlenmesi denir.
Aşağıda 1, 2, 3 ve 4 basamaklı birer sayının çözümlenmesi gösterilmiştir.
\[(a) = a \times 1\] \[(ab) = a \times 10 + b \times 1\] \[(abc) = a \times 100 + b \times 10 + c \times 1\] \[(abcd) = a \times 1.000 + b \times 100 + c \times 10 + d \times 1\]Örnekler
\[(53) = 5 \times 10 + 3 \times 1 = 53\] \[(726) = 7 \times 100 + 2 \times 10 +\]Aşağıdaki çözümlemeye göre, iki basamaklı bir sayı ve rakamları yer değiştirmiş halinin toplamı sayının rakamları toplamının 11 katına eşittir.
\[(ab) + (ba) = a \times 10 + b \times 1 +\] \[= 11(a + b)\]Aşağıdaki çözümlemeye göre, iki basamaklı bir sayı ve rakamları yer değiştirmiş halinin farkı sayının rakamları farkının 9 katına eşittir.
\[b \times 10 + a \times 1\] \[= 9(a - b)\]
En Küçük/En Büyük Sayılar
Basamak değerleri bilgisi kullanılarak belirli koşulları sağlayan en küçük ve en büyük sayılar kolaylıkla bulunabilir.
İki basamaklı en küçük ve en büyük pozitif bazı sayılar aşağıdaki gibidir.
En küçük tam sayı: 10
En küçük tek sayı: 11
Rakamları farklı en küçük tek sayı: 13
En büyük tam sayı: 99
En büyük çift sayı: 98
Rakamları farklı en büyük tek sayı: 97
Üç basamaklı en küçük ve en büyük pozitif bazı sayılar aşağıdaki gibidir.
En küçük tam sayı: 100
En küçük tek sayı: 101
Rakamları farklı en küçük tam sayı: 102
Rakamları farklı en küçük tek sayı: 103
En büyük tam sayı: 999
En büyük çift sayı: 998
Rakamları farklı en büyük tam sayı: 987
Rakamları farklı en büyük çift sayı: 986
