Bir çokluğu ifade etmek, saymak, ölçmek ve yorumlamak gibi işlemlerde kullanılan matematiksel nesnelere sayı denir.
Sayıları ifade edebilmek için kullanılan sembollere rakam denir. Onluk sayma sisteminde kullanılan 10 rakam vardır.
\[\text{Rakamlar} = \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \}\]Her rakam aynı zamanda tek basamaklı bir sayıdır.
Sayılar farklı özelliklerine göre belirli gruplara dahil olurlar ve bu özellikleri ile o grup içinde incelenirler. Bu gruplara aşağıdaki örnekleri verebiliriz.
- Sayı kümelerine göre sayılar: Doğal sayılar, tam sayılar, rasyonel sayılar, reel sayılar vb.
- Pozitif ve negatif sayılar: Sıfır dışındaki tüm reel sayılar pozitif ya da negatif sayı olarak ayrılırlar.
- Tek ve çift sayılar: Tüm tam sayılar tek ya da çift sayı olarak ayrılırlar.
- Asal ve bileşik sayılar: Birden büyük tüm tam sayılar asal ya da bileşik sayı olarak ayrılırlar.
- Basamak sayılarına göre sayılar: Bir, iki, n basamaklı sayılar
- Bölünebilme özelliklerine göre sayılar: 5’e, 9’a, 11’e tam bölünen sayılar
- Belirli bir sayı dizisinin elemanı olmasına göre sayılar: Fibonacci sayıları, karesel sayılar, üçgensel sayılar vb.
- Özel sayılar: Palindromik sayılar, mükemmel sayılar, ikiz asallar vb.
Önceki bölümde bahsettiğimiz sayıların farklı sınıflandırmaları içinde en temel olanı sayı kümeleridir. Her sayı bu bölümde inceleyeceğimiz sayı kümelerinden birinin ya da birkaçının elemanı olabilir.
Sayı kümeleri birer küme oldukları için küme işlemleri ve özellikleri sayı kümeleri için de geçerlidir.
Doğal Sayılar
\[\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}\]Doğal sayılar kümesi 0’dan pozitif sonsuza kadar olan tam sayıları kapsar ve N sembolü ile gösterilir.
0 hariç doğal sayılar kümesine sayma sayıları denir
\[\mathbb{N^+} = \{1, 2, 3, \ldots\}\]Tam Sayılar
Tam sayılar kümesi negatif sonsuzdan pozitif sonsuza kadar olan tam sayıları kapsar ve Z sembolü ile gösterilir.
\[\mathbb{Z} = \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}\]Tam sayılar kümesinin birer alt kümesi olarak pozitif ve negatif tam sayılar kümeleri aşağıdaki şekilde tanımlıdır.
\[\mathbb{Z^-} = \{\ldots, -3, -2, -1\}\] \[\mathbb{Z^+} = \{1, 2, 3, \ldots\}\]0 (sıfır) pozitif ya da negatif değildir, işareti olmayan bir tam sayıdır.
Tam sayılar kümesi pozitif ve negatif tam sayılar kümeleri ile sıfırın birleşim kümesi şeklinde ifade edilebilir.
\[\mathbb{Z} = \mathbb{Z^-} \cup \{0\} \cup \mathbb{Z^+}\]Rasyonel Sayılar
Paydası sıfır olmamak şartıyla, iki tam sayının birbirine oranı şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayılar denir. Rasyonel sayılar kümesi Q sembolü ile gösterilir.
\mathbb{Q} = \left\{ \dfrac{a}{b} \mid a, b \in \mathbb{Z}, b \ne 0 \right\}Bu tanıma göre aşağıdaki sayılar birer rasyonel sayıdır.
\dfrac{1}{2}, -\dfrac{4}{3}Tam sayılar kesirli şekilde yazılabildikleri için birer rasyonel sayıdır.
1 = \dfrac{1}{1} = \dfrac{2}{2} = \dfrac{5}{5}Kesirli şekilde ifade edilebilen ondalık ve yüzdeli ifadeler de birer rasyonel sayıdır.
2,5 = \dfrac{5}{2}Virgülden sonra sonlu sayıda basamağı olan ondalık sayılar, kesirli şekilde yazılabildikleri için birer rasyonel sayıdır.
0,123456 = \dfrac{123456}{1000000}Devirli ondalık sayılar virgülden sonraki basamakları tekrar ederek sonsuza gitse de, kesirli şekilde yazılabildikleri için birer rasyonel sayıdır.
2,272727\ldots = 2,\overline{27} = \dfrac{25}{11}Özetle, bir rasyonel sayının ya virgülden sonra sonlu sayıda basamağı vardır ya da bu basamaklar sonsuza gidiyorsa bir basamaktan sonra kendini tekrar eder.
İrrasyonel Sayılar
İki tam sayının birbirine oranı şeklinde yazılamayan sayılara irrasyonel sayılar denir. İrrasyonel sayılar kümesi Q′ sembolü ile gösterilir. İrrasyonel sayılara aşağıdaki örnekler verilebilir.
\[\sqrt{2}, \sqrt[3]{15}, \sqrt[4]{95}\]Pi sayısı:
\[\pi = 3,1415926535\ldots\]Euler sayısı:
\[e = 2,7182818284\ldots\]Altın oran:
\[\phi = 1,6180339887\ldots\]Tam kare olmayan doğal sayıların karekökleri:
\[\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \ldots\]Logaritmik ifadelerin bazıları:
\[\log{2}, \log_2{3}, \ldots\]Reel (Gerçel) Sayılar
Rasyonel ve irrasyonel sayılar kümelerinin birleşim kümesine reel (gerçel) sayılar denir. Reel sayılar kümesi
\[\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{Q'}\]Bu tanıma göre rasyonel ve irrasyonel sayılar dışında bir reel sayı yoktur. Pozitif reel sayılar kümesi
Sıfırın dahil olduğu aşağıdaki sayı kümeleri de belirtilen isimlerle kullanılabilir.
Negatif olmayan reel sayılar
\[= \mathbb{R^+} \cup \{ 0 \}\]Pozitif olmayan reel sayılar
\[= \mathbb{R^-} \cup \{ 0 \}\]
