Üçgen, adını 17. yüzyıl Fransız matematikçisi Blaise Pascal’ın adını almıştır. Blaise Pascal, özellikle, Fransız matematikçi Pierre de Fermat ile yazışmalarında olasılık teorisinin temellerini ortaya koymak için bu üçgeni kullanmıştır. Bununla birlikte, İtalya’da bu üçgen adını matematikçi Niccolò Tartaglia‘dan alır ve Tartaglia Üçgeni olarak bilinir. Ancak Pascal ve Tartaglia’dan çok daha önce aslında bu üçgen farklı isimler altında bilinmekteydi. İran’da ise konu hakkında çalışmalar yapan Ömer Hayyam’a ithafen Hayyam’ın üçgeni olarak bilinir. Çin’de de Yang Hui’nin Üçgeni adındadır. Pascal üçgenine yapılan en eski referanslar ise MÖ 450 yılı civarında Hindistan’da ortaya çıkmıştır. Hintli matematikçiler de üçgene Meru Dağı’nın merdivenleri der.
Pascal üçgenini oluşturmak çok kolaydır. Yukarıdaki şekilde görüldüğü gibi, bir eşkenar üçgenin tepesine 1 yazılır. Bunun altına 1 , 1 sayılarını birinci satır olarak, gene şekildeki gibi yerleştirelim. İkinci satıra 1 , 2 , 1 ve üçüncü satıra 1 , 3 , 3 , 1 sayılarını yerleştirelim. Bu işleme durmaksızın devam edebilmek için, üçgene sayı yerleştirme kuralını çıkaralım. 1.Şekle dikkat edersek, herhangi bir satırı yerleştirirken uyulan kuralı hemen görebiliriz. Satırdaki her öğe, üst satırda kendisine göre sol üstünde ve sağ üstünde yer alan iki sayının toplamıdır ve o ikisinin konumlarına göre orta dikme üzerindedir. Her satırın en solundaki ve en sağındaki sayılar daima 1 dir ve aynı kuralla bulunurlar. Sol kenar üzerindeki 1 lerin sol üst köşelerinde, sağdaki 1 lerin ise sağ üst köşelerinde sayı yoktur. Olmayan sayıları 0 sayarsak, genel kuralın kenardaki sayılar için de geçerli olduğu anlaşılır. Her satır ekleyişte yeni bir eşkenar üçgen ortaya çıkar.
1- Pascal Üçgeni ve Binom Açılımı İlişkisi
Binom açılımı a + b gibi iki terimli ifadenin kendisiyle belirli sayıda çarpıldığında ortaya çıkan katsayıların (değişkenlerin önünde görünen sayılar) modelini ifade eder. Matematiksel olarak bu (a+b)n biçiminde yazılır. Aşağıdaki görselde açılımın katsayılarının Pascal üçgenindeki sayılar ile uyumlu olduğunu görebilirsiniz. Binom açılımının katsayıları ile Pascal üçgenindeki sayılar arasındaki bu ilişki, sayılar ve olasılık hakkında temel bir gerçeği ortaya çıkarır.
(a + b)0 = 1
(a + b)1 = 1.a +1.b
(a + b)2 = 1.a2 + 2.a.b +1.b2
(a + b)3 = 1.a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 +1.b3
(a + b)4 = 1.a4 + 4.a3.b + 6.a2.b2 + 4.a.b3 +1.b4
(a + b)5 = 1.a5 + 5.a4.b +10.a3.b2 +10.a2.b3 + 5.a.b4 +1.b5
Pascal üçgeninde bir satırın toplamı bir önceki satırın toplamının iki katıdır. Başka bir deyişle 2 nin kuvvetleridir.
