Pozitif ve Negatif Sayılar

Sıfırdan büyük sayılara pozitif sayılar, sıfırdan küçük sayılara negatif sayılar denir. Pozitif sayılar sayı Sıfırdan büyük sayılara pozitif sayılar, sıfırdan küçük sayılara negatif sayılar denir. Pozitif sayılar sayı doğrusunda sıfırın sağındaki, negatif sayılar da solundaki sayılardır.

Bir sayının önünde bulunan ve sayının pozitif ya da negatif olduğunu gösteren sembole o sayının işareti denir. Pozitif sayılar sayının önüne konan “+” işareti ile, negatif sayılar da “−” işareti ile gösterilir. Sayının önünde bir işaret olmadığı durumda sayının pozitif olduğu anlaşılmalıdır. Sıfır sayısı ne pozitif ne de negatiftir, bu yüzden işaretsizdir. Önüne gelecek pozitif ya da negatif işareti sıfır sayısının değerini değiştirmez.

\[+0 = -0 = 0\]

İki pozitif sayıdan mutlak değerce daha büyük olan sayı doğrusunda daha sağda olduğu için daha büyüktür. İki negatif sayıdan mutlak değerce daha büyük olan sayı doğrusunda daha solda olduğu için daha küçüktür.

\[\mathbb{R^-} \cup \{0\} \cup \mathbb{R^+} = \mathbb{R}\] \[\mathbb{Z^-} \cup \{0\} \cup \mathbb{Z^+} = \mathbb{Z}\]

Pozitif ve negatif reel sayılar kümelerinin ve sıfır sayısının birleşim kümesi reel sayılar kümesine eşittir. Benzer şekilde, pozitif ve negatif tam sayılar kümelerinin ve sıfır sayısının birleşim kümesi tam sayılar kümesine eşittir.

Bir Sayının Toplamaya Göre Tersi

Bir sayının toplamaya göre tersi, o sayı ile toplandığında sıfır sonucunu veren sayıdır. Bir sayının toplamaya göre tersi o sayının ters işaretlisidir. Sıfırın toplamaya göre tersi sıfırdır.

\[a + (-a) = 0\]

+a’nın toplamaya göre tersi:

\[-a\]

-a’nın toplamaya göre tersi

\[a\]

Bir sayının toplamaya göre tersinin tersi kendisine eşittir.

\[-(-8) = 8\]

Pozitif ve Negatif Sayılarla İşlemler

Pozitif Sayıyla Toplama

Bir sayı pozitif bir sayı ile toplandığında sayının değeri artmış ve sayı sayı doğrusu üzerinde sağa taşınmış olur.

12 \textcolor{red}{+ 5} = 17 -12 \textcolor{red}{+ 5} = -7

Negatif Sayıyla Toplama

Bir sayı negatif bir sayı ile toplandığında sayının değeri azalmış ve sayı sayı doğrusu üzerinde sola taşınmış olur. Dolayısıyla negatif bir sayı ile toplama işlemi bir çıkarma işlemi olarak da düşünülebilir.

12 \textcolor{red}{+ (-5)} = 12 - 5 = 7 -12 \textcolor{red}{+ (-5)} = -12 - 5 = -17

Pozitif Sayı Çıkarma
Bir sayıdan pozitif bir sayı çıkarıldığında sayının değeri azalmış ve sayı sayı doğrusu üzerinde sola taşınmış olur.

12 \textcolor{red}{- 5} = 7 -12 \textcolor{red}{- 5} = -17

Negatif Sayı Çıkarma
Bir sayıdan negatif bir sayı çıkarıldığında sayının değeri artmış ve sayı sayı doğrusu üzerinde sağa taşınmış olur. Dolayısıyla negatif bir sayı çıkarma işlemi bir toplama işlemi olarak da düşünülebilir.

12 \textcolor{red}{- (-5)} = 12 + 5 = 17 -12 \textcolor{red}{- (-5)} = -12 + 5 = -7

Kısaca özetlersek, bir sayıyı negatif bir sayı ile toplamakla aynı sayının pozitifini çıkarmak aynı işlemdir.

\[5 + (-2) = 5 - 2 = 3\]

Benzer şekilde, bir sayıdan negatif bir sayı çıkarmakla aynı sayının pozitifi ile toplamak aynı işlemdir.

\[5 - (-2) = 5 + 2 = 7\]

Pozitif sayıların toplamı her zaman pozitif, negatif sayıların toplamı her zaman negatiftir.

\[2 + 3 + 4 = 9\] \[(-2) + (-3) + (-4) = -9\]

Zıt işaretli iki sayı toplandığında sonuç mutlak değer olarak büyük olan sayının işaretini alır. Mutlak değerleri eşit ve zıt işaretli iki sayının toplamı sıfır olur.

\[(-3) + 5 = 2\] \[(-5) + 3 = -2\] \[(-3) + 3 = 0\]

Toplamlarının işareti bilinen sayıların pozitif/negatif olma durumları hakkında aşağıdaki çıkarımlar yapılabilir.

\[a + b \gt 0\]

ise ya sayıların ikisi de pozitiftir ya da sayılar ters işaretlidir ve pozitif sayı negatif sayıdan mutlak değerce büyüktür.

\[a + b \lt 0\]

ise ya sayıların ikisi de negatiftir ya da sayılar ters işaretlidir ve negatif sayı pozitif sayıdan mutlak değerce büyüktür.

\[a + b = 0\]

ise ya sayıların ikisi de sıfırdır ya da sayılar ters işaretlidir ve mutlak değerce eşittir.

Pozitif/Negatif Sayılarla Çarpma

Pozitif ve negatif sayıların birbiriyle çarpımının pozitif/negatif olma durumları aşağıdaki gibidir. Buna göre, sayıların işaretleri aynı ise sonuç pozitif, sayılar ters işaretli ise sonuç negatiftir.

\[(+) \cdot (+) = (+)\] \[(+) \cdot (-) = (-)\] \[(-) \cdot (+) = (-)\] \[(-) \cdot (-) = (+)\]

Pek çok çarpandan oluşan çarpma işleminde negatif çarpanların sayısı çift ise sonuç pozitif, tek ise sonuç negatiftir. Pozitif çarpanların sayısının sonucun işaretine etkisi yoktur.

\[\underbrace{(-) \cdot (-) \cdot \ldots \cdot (-)}_\text{çift sayı} = (+)\] \[\underbrace{(-) \cdot (-) \cdot \ldots \cdot (-)}_\text{tek sayı} = (-)\]

Pozitif/Negatif Sayılarla Bölme

Pozitif ve negatif sayıların birbirine bölümünün pozitif/negatif olma durumları çarpmadaki ile aynıdır. Buna göre, sayıların işaretleri aynı ise sonuç pozitif, sayılar ters işaretli ise sonuç negatiftir.

\[(+) \div (+) = (+)\] \[(+) \div (-) = (-)\] \[(-) \div (+) = (-)\] \[(-) \div (-) = (+)\]

Pozitif/Negatif Sayıların Tek/Çift Sayı Üsleri

Pozitif/negatif sayıların pozitif tek/çift sayı üslerinin pozitif/negatif olma durumları aşağıdaki gibidir.

\[(+)^\text{Çift} = (+)\] \[(+)^\text{Tek} = (+)\] \[(-)^\text{Çift} = (+)\] \[(-)^\text{Tek} = (-)\]

Bu tabloya göre, üs (sıfırdan farklı olmak üzere) çift sayı ise sonuç tabanın işaretinden bağımsız her zaman pozitiftir, tek sayı ise tabanın işareti ile aynıdır.

Üs işlemi tekrarlı çarpma olduğu için, bu sonucu yukarıdaki çarpma kuralından da türetebiliriz. Buna göre, pozitif sayıların çarpımı çarpan sayısından bağımsız her zaman pozitiftir. Negatif sayıların çarpımında çarpan sayısı çift ise sonuç pozitif, tek ise sonuç negatiftir.

Üs işleminin işlem önceliği diğer işlemlerden yüksektir, dolayısıyla üssü alınan sayının önündeki negatif işaretine dikkat edilmelidir. Aşağıdaki işlemlerin tümünde üs işleminin tabanı −2 değil 2’dir ve negatif işareti üs işleminin sonucuna uygulanmaktadır.

\[-2^2 = (-2^2) = -(2)^2 = -4\] \[(-2)^2 = +4\]

Negatif bir sayının üssü alınmak istendiğinde parantez negatif işaretini de içine alacak ve üs işlemi tüm paranteze uygulanacak şekilde yerleştirilmelidir.