2’ye tam bölünen tam sayılara çift sayı, 2’ye bölündüğünde 1 kalanını veren tam sayılara tek sayı denir. Çift sayılar {0,2,4,6,8} rakamlarından biri ile biter, tek sayılar {1,3,5,7,9} rakamlarından biri ile biter.
Çift sayılar: 2,24,42
\[\text{Çift sayılar} = \{2k \mid k \in \mathbb{Z}\}\]Tek sayılar: 1,3,15
\[\text{Tek sayılar} = \{2k + 1 \mid k \in \mathbb{Z}\}\]Tek ya da çift olma özelliği sadece tam sayılar için geçerlidir
\[\frac{1}{2}\]sayısı için teklik/çiftlik söz konusu değildir.
Her tam sayı ya tektir ya da çifttir. Sıfır çift sayıdır.
Negatif tam sayılar da tek ya da çift olabilir. Örneğin −2 çift iken −11 tektir.
Bir sayı tek ise negatifi de tektir, çift ise negatifi de çifttir. Örneğin 16 ve −16 çifttir, 47 ve −47 tektir.
Tek ve çift sayılar kümelerinin birleşimi tam sayılar kümesine eşittir.
\[\text{Tek sayılar} \cup \text{Çift sayılar} = \mathbb{Z}\]Tek ve Çift Sayılarla İşlemler
Toplama/Çıkarma İşlemi
Tek ve çift sayılar arasındaki toplama/çıkarma işleminin sonucunun tek/çift olma durumları aşağıdaki gibidir.
| İşlem | Örnek |
|---|---|
| Çift ± Çift = Çift | 2+2=4 |
| Çift ± Tek = Tek | 4−1=3 |
| Tek ± Çift= Tek | 3+4=7 |
| Tek ± Tek = Çift | 1+1=2 |
n tane çift sayının toplamı çifttir.
n tane tek sayının toplamı n tek ise tek, n çift ise çifttir.
\[\underbrace{\text{T + T + ... + T}}_\text{çift sayı} = \text{Ç}\] \[\underbrace{\text{T + T + ... + T}}_\text{tek sayı} = \text{T}\]İki sayının toplamı tek ise bu sayıların biri tektir diğeri çifttir.
\[11 = 7 + 4 = 5 + 6 = 3 + 8\]İki sayının toplamı çift ise bu sayıların ya ikisi de tektir ya da ikisi de çifttir.
\[10 = 8 + 2 = 6 + 4\]Çarpma İşlemi
Tek ve çift sayılar arasındaki çarpma işleminin sonucunun tek/çift olma durumları aşağıdaki gibidir. Buna göre, iki sayının çarpımı sadece sayıların ikisi de tek sayı olduğunda tek sayı olur.
| İşlem | Örnek |
|---|---|
| Çift ⋅ Çift = Çift | 6 ⋅ 4 = 24 |
| Çift ⋅ Tek = Çift | 6 ⋅ 3 = 18 |
| Tek ⋅ Çift = Çift | 5 ⋅ 4 = 20 |
| Tek ⋅ Tek = Tek | 5 ⋅ 3 = 15 |
İki ya da daha fazla tam sayı arasındaki çarpma işleminin sonucu tek ise sayıların tümü tektir.
\[135 = 3 \cdot 5 \cdot 9\]İki ya da daha fazla tam sayı arasındaki çarpma işleminin sonucu çift ise sayılardan en az biri çifttir.
\[90 = 2 \cdot 5 \cdot 9\]Asal sayılar içinde sadece 2 çifttir, diğer tüm asal sayılar tektir.
Tek/Çift Sayıların Tek/Çift Sayı Üsleri
Üs bir pozitif tam sayı olmak üzere, tek ve çift sayılar arasındaki üs işleminin sonucunun tek/çift olma durumları aşağıdaki gibidir.
| İşlem | Örnek |
|---|---|
| ÇiftÇift = Çift | 42=16 |
| ÇiftTek = Çift | 43=64 |
| TekÇift = Tek | 32=9 |
| TekTek = Tek | 33=27 |
Buna göre, sonucun tek/çift olma durumu açısından üssün bir önemi yoktur, taban çift ise sonuç çifttir, taban tek ise sonuç tektir. Bunun sebebi, çarpan sayısından bağımsız olarak çift sayıların çarpımının çift sayı, tek sayıların çarpımının tek sayı olmasıdır.
Çoklu İşlemler
Alternatif olarak; toplama, çıkarma, çarpma ve üslü işlemlerden oluşan bir ifadenin sonucunun tek/çift olma durumunu bulmak için, üsler hariç ifadedeki çift sayıların yerine 0, tek sayıların yerine 1 yazarak sonucun tek/çift olma durumu kontrol edilebilir.
\[998 \cdot 767^2 - 1301 \cdot 9^{12}\] \[0 \cdot 1^2 - 1 \cdot 1^{12} = 0 - 1 = -1 \Longrightarrow Tek sayı\]
