Bu bölümde temel dört aritmetik işlemin bir önceki bölümde bahsettiğimiz işlem özelliklerini inceleyeceğiz.
Toplama
Toplama işleminin değişme ve birleşme özellikleri vardır.
\[a + b = b + a\] \[a + (b + c) = (a + b) + c\]Toplama işleminin birim (etkisiz) elemanı 0’dır.
\[a + 0 = 0 + a = a\]Toplama işleminin ters elemanı sayının ters işaretlisidir.
\[a + (-a) = 0\]Bir a sayısı için −a ifadesine a’nın toplamaya göre tersi denir.
Toplama işleminin farklı sayı kümeleri için kapalılık özelliği aşağıdaki gibidir:
| Sayı Kümesi | Kapalılık Durumu |
|---|---|
| Doğal sayılar | Kapalıdır: İki doğal sayının toplamı da bir doğal sayıdır. |
| Tam sayılar | Kapalıdır: İki tam sayının toplamı da bir tam sayıdır. |
| Rasyonel sayılar | Kapalıdır: İki rasyonel sayının toplamı da bir rasyonel sayıdır. |
| İrrasyonel sayılar | Kapalı değildir: İki irrasyonel sayının toplamı bir irrasyonel sayı olmayabilir. |
| Reel sayılar | Kapalıdır: İki reel sayının toplamı da bir reel sayıdır. |
Çıkarma
Çıkarma işleminin değişme ve birleşme özellikleri yoktur.
Çıkarma işleminin birim (etkisiz) ve ters elemanları yoktur. 0 sayısı çıkarma işleminin ikinci terimi olarak etkisiz eleman gibi davransa da, bir elemanın bir işlemin etkisiz elemanı olabilmesi için terimlerin sıralamasından bağımsız bu işlevi görmesi gerekir.
\[a \ne 0\] \[a - 0 = a\] \[0 - a \ne a\]Çıkarma işleminin farklı sayı kümeleri için kapalılık özelliği aşağıdaki gibidir:
| Sayı Kümesi | Kapalılık Durumu |
|---|---|
| Doğal sayılar | Kapalı değildir: İki doğal sayının farkı bir doğal sayı olmayabilir. |
| Tam sayılar | Kapalıdır: İki tam sayının farkı da bir tam sayıdır. |
| Rasyonel sayılar | Kapalıdır: İki rasyonel sayının farkı da bir rasyonel sayıdır. |
| İrrasyonel sayılar | Kapalı değildir: İki irrasyonel sayının farkı bir irrasyonel sayı olmayabilir. |
| Reel sayılar | Kapalıdır: İki reel sayının farkı da bir reel sayıdır. |
Çarpma
Çarpma işleminin değişme ve birleşme özellikleri vardır.
\[a \cdot b = b \cdot a\] \[a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c\]Çarpma işleminin toplama ve çıkarma üzerinde soldan ve sağdan dağılma özelliği vardır.
\[a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c\] \[(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c\] \[a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c\] \[(a - b) \cdot c = a \cdot c - b \cdot c\]Çarpmanın birim (etkisiz) elemanı 1’dir.
a \cdot 1 = 1 \cdot a = aÇarpmanın ters elemanı 1 bölü kendisidir.
a \cdot \dfrac{1}{a} = 1 \quad (a \ne 0)a \cdot 1 = 1 \cdot a = a a \cdot \dfrac{1}{a} = 1 \quad (a \ne 0)olmak üzere, bir a sayısı için
\[a^{-1} = \frac{1}{a}\]ifadesine a’nın çarpmaya göre tersi denir.
Çarpma işleminin farklı sayı kümeleri için kapalılık özelliği aşağıdaki gibidir:
| Sayı Kümesi | Kapalılık Durumu |
|---|---|
| Doğal sayılar | Kapalıdır: İki doğal sayının çarpımı da bir doğal sayıdır. |
| Tam sayılar | Kapalıdır: İki tam sayının çarpımı da bir tam sayıdır. |
| Rasyonel sayılar | Kapalıdır: İki rasyonel sayının çarpımı da bir rasyonel sayıdır. |
| İrrasyonel sayılar | Kapalı değildir: İki irrasyonel sayının çarpımı bir irrasyonel sayı olmayabilir. |
| Reel sayılar | Kapalıdır: İki reel sayının çarpımı da bir reel sayıdır. |
Bölme
Bölme işleminin değişme ve birleşme özellikleri yoktur.
Bölme işleminin toplama ve çıkarma üzerine sadece sağdan dağılma özelliği vardır.
\[c \ne 0\] \[(a + b) \div c = (a \div c) + (b \div c)\] \[(a - b) \div c = (a \div c) - (b \div c)\]Yukarıdaki işlemleri kesirli ifade olarak yazdığımızda, bölmenin neden sağdan dağılma özelliği olduğu ve soldan dağılma özelliği olmadığı daha net görülecektir.
\dfrac{a + b}{c} = \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} \dfrac{c}{a + b} \ne \dfrac{c}{a} + \dfrac{c}{b}Bölme işleminin birim (etkisiz) ve ters elemanları yoktur. 1 sayısı bölme işleminin ikinci terimi olarak etkisiz eleman gibi davransa da, 0 sayısının çıkarma işlemindeki durumunda olduğu gibi etkisiz eleman olmamaktadır.
Bölme işleminin farklı sayı kümeleri için kapalılık özelliği aşağıdaki gibidir:
| Sayı Kümesi | Kapalılık Durumu |
|---|---|
| Doğal sayılar | Kapalı değildir: İki doğal sayının bölümü bir doğal sayı olmayabilir. |
| Tam sayılar | Kapalı değildir: İki tam sayının bölümü bir tam sayı olmayabilir. |
| Rasyonel sayılar | Kapalı değildir: İki rasyonel sayının bölümü bir rasyonel sayı olmayabilir. |
| İrrasyonel sayılar | Kapalı değildir: İki irrasyonel sayının bölümü bir irrasyonel sayı olmayabilir. |
| Reel sayılar | Kapalı değildir: İki reel sayının bölümü bir reel sayı olmayabilir. |
Özel Ders Paketlerimiz ile Okul Derslerinde ve Sınavda Başarıyı Yakalayın. TYT-AYT-LİSE ARASINIF kurslarımız ile ne zaman ve nerede istersen o zaman çalış. Hangi konuda istiyorsan o konuda online ders alın.
